日本国債金利の主成分分析
概要
Nelson-Siegelモデルについて
Nelson-Siegelモデル*2は,その代表的なモデルである。 このモデルは,スポットレートカーブの構造を比較的に単純に説明することができる。
残存期間mのフォワードレートをr(m)とする。
残存期間mのスポットレートをR(m)とすると,R(m)はフォワードレートの平均値である。
この2つの式を組み合わせる。
ここで,各パラメータβ0,β1,β2,τが時変的(time-varying)であると仮定すると, ダイナミックなNelson-Siegelモデルとなる。
ダイナミックなNelson-Siegelモデルにおいて,
β0は,カーブ全体の高低を規定する「水準ファクター(Level)」
β1は,カーブの角度を規定する「傾きファクター(Slope)」
β2は,カーブの湾曲の程度を規定する「曲率ファクター(Curvature)」
を表す。
一方で今回の記事では,主成分分析を用いてイールドカーブの構造分解をおこなう*3。
主成分分析による推定では,イールドカーブの変動のほぼ全てが第一主成分から第三主成分の3つの共通成分によって説明できるとされている。
第一主成分は水準(Level),第二主成分は傾き(Slope),第三主成分は曲率(Curvature)を表していると解釈される。
データの取得
スポットレートのデータを使ってイールドカーブの構造を推定したかったが, データをうまくゲットできなかった(日本相互証券のHPとかいろいろ見たが)ので, 財務省が公表している国債金利情報で代用*4。
取得するデータは,2001年1月から2017年7月までの月次データ(月末値)。年限は1年物から20年物まで。
プロットして動きを見てみる。
分析っぽいこと
国債金利データを直接,主成分分析をしてみる(定常性とか変化率云々の議論は知らない)。
読み込んだ金利データをxts型に変換し,princomp
を使って主成分分析。
#主成分分析 pca <- princomp((coredata(yield)), cor = T) #相関係数行列について主成分分析 summary(pca)
分析結果は,次のように。
Importance of components: Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8 Comp.9 Comp.10 Comp.11 Standard deviation 3.2906484 0.96200235 0.46598691 0.12134893 0.0793525441 0.0574088587 0.0457253972 0.0381286418 0.0238068720 1.710747e-02 1.379945e-02 Proportion of Variance 0.9023639 0.07712071 0.01809532 0.00122713 0.0005247355 0.0002746481 0.0001742343 0.0001211494 0.0000472306 2.438879e-05 1.586874e-05 Cumulative Proportion 0.9023639 0.97948464 0.99757996 0.99880709 0.9993318240 0.9996064721 0.9997807064 0.9999018559 0.9999490865 9.999735e-01 9.999893e-01 Comp.12 Standard deviation 0.011308049 Proportion of Variance 0.000010656 Cumulative Proportion 1.000000000
第三主成分までで累積寄与率(Cumulative Proportion)が約99.76%となる。 よって先述したように,イールドカーブの変動のほぼ全てが第三主成分までの3つの共通成分によって説明されるようだ。
国債の各年物に対するファクター・ローディングを見ると,次の通り。
また,分析したデータの期間におけるファクターの推移を見ると,次の通り。
基本的にイールドカーブの変動は第一主成分,すなわち水準ファクターによってもたらされたようだ。 ただし,実際のイールドカーブの推移(フラットニング)に合わない印象。
-1を乗じると,現実に合うようないい具合になった↓。
補足・感想
証券アナリストジャーナルに主成分分析を用いてバーベルロング-ブレッドショート等の市場運用の観点から金利構造を分析している 論文があったので,いつかそういう分析をしてみたい
米国債などでも分析してみたい
追記(2018.1.4)
どうやらカーブ取引など実務で使う際は利回りを事前に標準化してから,主成分分析にかけるようだ。この記事はそれを反映していないため…ちゃんとした推計とは言えないかもしれない…。
*1:たとえば,木島(1999)がある。 期間構造モデルと金利デリバティブ (シリーズ 現代金融工学)
*2:http://www.math.ku.dk/~rolf/teaching/NelsonSiegel.pdf
*3:主成分分析は,永田・棟近(2001)を参照。
*4:http://www.mof.go.jp/jgbs/reference/interest_rate/index.htm