日本国債金利の主成分分析 - 金融ネタとか備忘録とか

概要

今更ながら金利モデルに興味が出てきたので，記事を書いてみた
主成分分析を用いて，日本国債金利の構造を推計してみた
（もちろん，今回も内容の信ぴょう性はありません）

Nelson-Siegelモデルについて

　金利の期間構造に関するモデルは，たくさんある *1

　Nelson-Siegelモデル*2は，その代表的なモデルである。このモデルは，スポットレートカーブの構造を比較的に単純に説明することができる。

　残存期間mのフォワードレートをr(m)とする。

$r(m) = \beta_{0} + \beta_{1} \exp( - m / \tau ) + \beta_{2} [ (m / \tau ) \exp ( - m / \tau ) ]$

　残存期間mのスポットレートをR(m)とすると，R(m)はフォワードレートの平均値である。

$R(m) = 1/m \int_{0}^{m} r(x) dx$

　この2つの式を組み合わせる。

$R(m) = \beta_{0} + \beta_{1} [ \frac{1 - \exp ( -m / \tau )}{ ( m / \tau ) } ] + \beta_{2} [ \frac{ 1 - \exp ( - m / \tau ) }{ (m / \tau ) } - \exp( - m / \tau ) ]$

ここで，各パラメータβ0，β1，β2，τが時変的（time-varying）であると仮定すると，ダイナミックなNelson-Siegelモデルとなる。

$R(m) = \beta_{0t} + \beta_{1t} [ \frac{1 - \exp ( -m / \tau_{t} )}{ ( m / \tau_{t} ) } ] + \beta_{2t} [ \frac{ 1 - \exp ( - m / \tau_{t} ) }{ (m / \tau_{t} ) } - \exp( - m / \tau_{t} ) ]$

ダイナミックなNelson-Siegelモデルにおいて，

β0は，カーブ全体の高低を規定する「水準ファクター（Level）」
β1は，カーブの角度を規定する「傾きファクター（Slope）」
β2は，カーブの湾曲の程度を規定する「曲率ファクター（Curvature）」

を表す。

　一方で今回の記事では，主成分分析を用いてイールドカーブの構造分解をおこなう*3。

主成分分析による推定では，イールドカーブの変動のほぼ全てが第一主成分から第三主成分の3つの共通成分によって説明できるとされている。

第一主成分は水準（Level），第二主成分は傾き（Slope），第三主成分は曲率（Curvature）を表していると解釈される。

データの取得

スポットレートのデータを使ってイールドカーブの構造を推定したかったが，データをうまくゲットできなかった（日本相互証券のHPとかいろいろ見たが）ので，財務省が公表している国債金利情報で代用*4。

取得するデータは，2001年1月から2017年7月までの月次データ（月末値）。年限は1年物から20年物まで。

プロットして動きを見てみる。 f:id:shiba_ryu0209:20170831104952j:plain

分析っぽいこと

国債金利データを直接，主成分分析をしてみる（定常性とか変化率云々の議論は知らない）。

読み込んだ金利データをxts型に変換し，princompを使って主成分分析。

#主成分分析
pca <- princomp((coredata(yield)), cor = T) #相関係数行列について主成分分析
summary(pca)

分析結果は，次のように。

Importance of components:
                          Comp.1     Comp.2     Comp.3     Comp.4       Comp.5       Comp.6       Comp.7       Comp.8       Comp.9      Comp.10      Comp.11
Standard deviation     3.2906484 0.96200235 0.46598691 0.12134893 0.0793525441 0.0574088587 0.0457253972 0.0381286418 0.0238068720 1.710747e-02 1.379945e-02
Proportion of Variance 0.9023639 0.07712071 0.01809532 0.00122713 0.0005247355 0.0002746481 0.0001742343 0.0001211494 0.0000472306 2.438879e-05 1.586874e-05
Cumulative Proportion  0.9023639 0.97948464 0.99757996 0.99880709 0.9993318240 0.9996064721 0.9997807064 0.9999018559 0.9999490865 9.999735e-01 9.999893e-01
                           Comp.12
Standard deviation     0.011308049
Proportion of Variance 0.000010656
Cumulative Proportion  1.000000000

第三主成分までで累積寄与率（Cumulative Proportion）が約99.76%となる。よって先述したように，イールドカーブの変動のほぼ全てが第三主成分までの3つの共通成分によって説明されるようだ。

国債の各年物に対するファクター・ローディングを見ると，次の通り。 f:id:shiba_ryu0209:20170831114836j:plain